Найти ответы на эти и некоторые другие «неудобные вопросы» попытался автор этой заметки. Чтобы найти квалифицированные ответы автору потребовалось несколько лет интенсивной работы, пришлось заново разрабатывать физико-математические основы прикладного геомагнетизма, имея в виду и используя огромный опыт, накопленный предыдущими исследованиями физиков, математиков, геофизиков. Анализируя опыт предшественников, автор попытался ответить на главный вопрос: присутствует ли тороидальное магнитное поле на поверхности Земли или нет. Если да, то, какими источниками это тороидальное магнитное поле создается, и где расположены эти источники.

Изначально было ясно, что только электрический ток мог бы создать тороидальное магнитное поле большой напряженности. Но какова природа этого электрического тока, где он расположен, как поддерживается, устойчив ли он по отношению к внешним и внутренним воздействиям на его магнитное поле и на сам поток заряженных частиц. Из выше сказанного следует, что автор придерживается мнения, которое однозначно указывает на источник магнитного поля Земли и полей его вариаций в виде электрического тока, сосредоточенного где-то в Земле и ионосфере . Исходя из этих соображений, и не принимая во внимание различные, в том числе изотерические гипотезы происхождения электромагнитного поля Земли, автор сосредоточил исследования, опираясь только на данные всемирной магнитной съемки 1964/65 гг. и на данные двух международных геофизических годов (МГГ) 1933 и 1957/58 гг. Только эти достаточно точные данные и могут быть положены в основание прикладной теории геомагнетизма.

Что касается математического аппарата, то непререкаемым авторитетом в математике пользуется метод анализа экспериментальных данных, разработанный в свое время К.Ф. Гауссом [1,2] для анализа магнитного поля Земли и дополненный А. Шмидтом. Этот метод разработан К.Ф. Гауссом путем введения в теорию магнитного поля магнитного потенциала и разложения его по поверхности шара. Коэффициенты этого разложения необходимо было определять из экспериментальных данных о напряженности магнитного поля в отдельных точках поверхности Земли [1,2]. Задачей автора было обобщение этого метода на соленоидальные электромагнитные поля электрических токов и разработка на этой основе новых интерполяционных формул (формул для сферического анализа экспериментальных данных) [14,16].

Разработка необходимых интерполяционных формул и успешное их применение к экспериментальным данным позволило выявить присутствие тороидального магнитного поля в атмосфере как в главном геомагнитном поле до 10% его напряженности, так и в его медленных солнечно-суточных вариациях до 40% напряженности. Пересчет тороидального и полоидального магнитных полей, полученных из наблюдений на Земле, по непрерывности в район зоны F жидкого ядра показал, что напряженность тороидального магнитного поля там около 4 Гс, полоидального порядка 60 Гс [14]. Эти факты стимулировали автора на более глубокую проработку интерполяционных формул с целью найти явные формулы для тороидальных и полоидальных электромагнитных полей, с помощью которых можно было бы выделить эти поля из экспериментальных данных в явном виде для дальнейшего анализа, как самих полей, так и поиска их источников.

На этом пути автору пришлось сформулировать и доказать новые математические теоремы и обобщить давно известные. Среди них главное место занимает теорема об однозначном представлении на поверхности шара соленоидального магнитного поля с помощью одной скалярной функции [17]. Эта теорема получена, исходя из тороидального разложения векторного потенциала, которое, кроме основного результата, позволило в явном виде записать разложения для тороидального и полоидального магнитного и электрического полей, найти формулы, доказывающие (в форме тождеств) взаимную генерацию тороидальным полем полоидального и наоборот, что однозначно обосновывает теории динамо возбуждения магнитных полей любой природы. В работе [17] доказана также теорема о том, что потенциальные (консервативные) полоидальные магнитные поля не обладают способностью к генерации тороидальных из-за несовпадения спиральностей того и другого. Это обобщает результат Т. Кауллинга [8]. Однако соленоидальные тороидальные и полоидальные магнитные поля обладают способностью к взаимной генерации в связи с совпадением спиральностей, но только в проводящей среде. Опираясь на эти теоремы, автору удалось доказать обобщенные теоремы Гаусса-Шмидта о разделении соленоидальных электромагнитных полей на тороидальные и полоидальные поля от внешних по отношению к шару и внутренних источников [16]. Доказать обобщенную теорему Гельмгольца о воспроизведении на поверхности шара не только полоидального, но еще и тороидального электромагнитного поля по известной нормальной магнитной компоненте к поверхности шара [16].

Упомянутые выше теоремы позволили в явном виде записать уравнения Максвелла для тороидального и полоидального электромагнитного поля, как для силовых в смысле Лоренца, так и не силовых по Моффату[18] электромагнитных полей.